[最优化]凸集

1. 凸集

1.1 凸集 convex set

等价条件：

对于任意的与任意的有

解析：

当 时， 等于 ；当 时，公式等于 。表示从点 到点 的线段，当 在 范围内变化时，会在这条线段上取得各个点，形成一条直线。

表明：凸集合中两点的连线仍然属于该集合

推广等价条件：

对于任意的有

1.2 常见凸集

• 超平面hyperplane:

• 半空间halfspace:

• 多面体polyhedra:

线性等式刻画的也是多面体，因：

2. 凸组合与凸包

2.1 凸组合 convex combination

拓展一下：

• 线性组合：，啥限制条件都没有

• 仿射组合：，

• 非负组合：，

• 凸组合：，即仿射组合+非负组合

2.2 凸包 convex hull of set C

注意：凸包是相对于集合来说的，尽管这个集合可能并不是凸集

凸包就是将原集合的补充成一个凸集

参考

https://www.bilibili.com/video/BV1rE411H7P6